EFT Puglia
Equipe Formativa Territoriale della Puglia

Stampabili

Schede binarie

Un set per la dimostrazione in classe.

Schede binarie (piccole)

Un set di carte per studente.

Risorse di classe

• Carta
• Penne
• Lavagna bianca
• Penne per lavagna bianca

Domande chiave

• Quali diversi sistemi numerici conosciamo? (Le risposte potrebbero includere: numeri romani; segni di conteggio; basi numeriche come binario, ottale ed esadecimale; sistemi basati sulla lingua come il cinese o l'antico egiziano.)
• Perché normalmente usiamo 10 cifre? (Probabilmente perché abbiamo 10 dita, in più è un modo abbastanza efficiente per scrivere le cose rispetto, ad esempio, ai segni di conteggio.)
• Perché abbiamo diversi sistemi numerici? (Sono convenienti per cose diverse, ad esempio i segni di conteggio sono facili se stai contando; i numeri romani possono essere utili per far sembrare un numero più misterioso o più difficile da leggere.)

Inizio della lezione 

1. Tieni le prime 5 carte (1, 2, 4, 8 e 16 punti), ma non lasciare che gli studenti vedano i punti. Chiedi a 5 studenti di offrirsi volontari per essere "bit" e invitali a stare in fila davanti alla classe.

2. Distribuisci la carta da 1 punto alla persona a destra. Spiega che sono un "bit" (cifra binaria) e possono essere accesi o spenti, neri o bianchi, 0 o 1 punti. L'unica regola è che la loro carta è completamente visibile o non visibile (cioè capovolta). Distribuisci la seconda carta alla seconda persona da destra. Fai notare che questa carta ha 2 pallini (visibili) o nessuno (capovolto).

   

3. Chiedi alla classe quale sarà il numero di punti sulla scheda successiva. Chiedi loro di spiegare perché lo pensano.

   Osservazioni didattiche

   Gli studenti di solito suggeriscono che dovrebbero essere tre. Se suggeriscono 4, probabilmente hanno già svolto l'attività (o hanno visto le carte che hai in mano!) Se suggeriscono il numero sbagliato, non correggerli, ma continua senza commenti, in modo che possano costruire la regola da soli .

4. Distribuisci silenziosamente la carta a quattro punti e lascia che provino a vedere lo schema.

   

   Osservazioni didattiche

   Di solito alcuni studenti si lamentano che hai perso i tre, ma semplicemente indicano che non hai commesso un errore. Questo dà loro l'opportunità di provare a costruire il modello per se stessi.

5. Chiedi qual è la prossima carta e perché.

   Osservazioni didattiche

   A questo punto è comune per gli studenti indovinare che è 6 (poiché segue i numeri 2 e 4). Tuttavia, se lasci che ci pensino un po 'di più, alcuni di solito ne escono con 8 e quegli studenti dovrebbero essere in grado di convincere gli altri che hanno ragione (ci sono diversi modi in cui uno studente potrebbe spiegare questo, ad esempio che ogni carta è il doppio del precedente, o che se prendi due di una carta, ottieni quello successivo)

6. Gli studenti dovrebbero essere in grado di elaborare la quinta carta (16 punti) senza aiuto:

   

7. Quanti punti avrebbe la carta successiva se andassimo a sinistra? (32) Il prossimo ...? (Non è necessario che gli studenti siano in possesso di queste carte, poiché non verranno utilizzate nella parte successiva dell'attività, ma puoi mostrarle per confermare che sono corrette).

8. Continua con 64 e 128 punti.

   Osservazioni didattiche

   At 128 dots there would be 8 cards. This is 8 bits, which is commonly referred to as a byte. It may be distracting to bring this up at this point, but some students may already be familiar with the idea that 8 bits is a byte, and make that observation. However, in the meantime, we'll work with a 5-bit representation, which isn't as useful as a whole byte, but a good size for teaching. (A byte is a convenient grouping of bits, and usually computer storage is based around bytes rather than individual bits; it's just the same as eggs being sold as a dozen; they could be sold individually, but groups of a dozen are usually more convenient for everyone concerned.)

   Un errore comune è distribuire le carte da sinistra a destra, ma è convenzione nella rappresentazione numerica che il valore meno significativo sia a destra, e questa è un'idea importante per gli studenti da portare via da questa attività.

Attività della lezione

1. Ricorda agli studenti che la regola è che una carta ha i punti completamente visibili o nessuno di essi è visibile. Se possiamo attivare e disattivare le carte mostrando il fronte e il retro della carta, come mostreremmo esattamente 9 punti? Inizia chiedendo se vogliono la carta da 16 (dovrebbero osservare che ha troppi punti), poi la carta da 8 (probabilmente penseranno che senza di essa non ci sono abbastanza punti rimasti), quindi 4, 2 e 1. Senza dato che sono state date regole diverse dal fatto che ogni carta sia visibile o meno, gli studenti di solito escono con la seguente rappresentazione.

   

   Collegamenti matematici

   Base 10 (our counting system) has 10 digits, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. When we count in base 10, we count from 0 to 9 and then run out of digits. So we need to add another column; we put a 1 in that column and start counting again from 0. This makes the number 10, we then repeat that process until the tens column is 9 and the ones column is 9 (making 99); from there we then add another column. Hence we have the familiar place value system that can be shown something like this:

   100,000s | 10,000s | 1,000s | 100s |10s | 1

   Note: Use the appropriate place value example based on what you have already taught in your class; this is an extended example.

   Base 2 (binary) follows the same logic, except it moves a lot quicker to the “next” place value, because there are only two digits, 0 and 1. The binary place values look like this:

   32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

   A volte gli studenti confondono l'ordine delle cifre in una rappresentazione binaria. Per aiutare gli studenti a comprendere il corretto ordinamento delle cifre binarie, poni la domanda: se ti dessi $ 435,00 quale numero ti interessa di più? È il 4 o il 5? Perché? È lo stesso per il codice binario, il valore più basso (cifra meno significativa) si trova all'estrema destra, mentre la cifra più significativa è all'estrema sinistra.

2. Ora chiedi "Come faresti il ​​numero 21?" (Di nuovo, inizia chiedendo se vogliono la carta 16, poi la carta 8 e così via da sinistra a destra).

3. Questo è un algoritmo per convertire i numeri in una rappresentazione binaria. Pensiamo attraverso i passaggi per farlo insieme.

   un. Inizia con tutti i numeri attivati ​​(punti visualizzati).

   

   b. Considera l'idea di rappresentare il numero 10

   c. 16 va bene per 10? No, quindi spegnilo

   

   d. 8 va bene per 10? Sì, quindi continua. Quanti sono rimasti? (2)

   e. 4 va bene in 2? No, quindi spegnilo

   

   f. 2 va bene in 2? Sì, quindi continua. Quanti sono rimasti? (Nessuna)

   g. Quindi spegni 1.

   

Applicando ciò che abbiamo appena appreso

• Raggruppa gli studenti in coppie.
• Assegna a ciascuna coppia un set di carte binarie più piccole (5 o 6 carte, a seconda della gamma di numeri con cui si trovano a proprio agio).
• Iniziando con solo 5 carte, chiedi loro di esercitarsi sull'algoritmo (decidendo su ciascuna carta da sinistra a destra) per numeri come 20, 15 e 8.

1. Spiega agli studenti che stiamo lavorando con solo due cifre, quindi sono chiamate cifre binarie. Sono così comuni che abbiamo un nome breve per loro: scrivi "cifra binaria" su un pezzo di carta, quindi strappa la "bi" all'inizio e la "t" alla fine, mettila insieme e chiedi cosa la parola combinata ("bit") incantesimi. Questo è il nome breve di una cifra binaria, quindi le 5 carte che hanno sono in realtà 5 bit.

2. Ora contiamo dal numero più piccolo che possiamo ottenere fino al numero più alto:

   un. Qual è il numero più piccolo? (possono suggerire 1, quindi rendersi conto che è 0).

3. Ottieni il numero zero visualizzato sulle carte (cioè nessun punto che mostra).

4. Ora conta 1, 2, 3, 4…. (ogni coppia dovrebbe calcolare questi numeri tra di loro).

5. Una volta che iniziano a entrare in una routine, chiediti: quanto spesso vediamo la carta da 1 punto? (ogni seconda volta, che è ogni numero dispari)

   un. Quali altri modelli stiamo vedendo? (alcuni potrebbero osservare che la carta a 2 punti si gira ogni secondo conteggio, i 4 punti ogni 4 e così via; quindi la carta da 16 punti non fa molto!)

6. Continuare fino a quando tutte le carte sono state attivate e hanno contato fino a 31. Cosa succede dopo? (Dobbiamo aggiungere una nuova carta.) Quanti punti ci sono? (32) Cosa dobbiamo fare con le altre 5 carte quando arriviamo a 32? (dobbiamo spegnerli tutti)

7. Esploriamo ulteriormente questo ...

   un. Quindi quando ho due bit posso fare un massimo di? (3)

   b. Aggiungo un altro pezzetto e quello ha quanti puntini sopra? (4)

   c. Spengo i primi due bit per farne 4 giusto?

   d. Ora attiviamo tutti e tre i bit, quindi ora quanti? (7)

   e. Aggiungo un altro pezzetto e quello ha quanti puntini sopra? (8)

   f. Ripeti finché non viene riconosciuto uno schema che il numero sulla carta successiva a sinistra è uno in più del numero totale di punti su tutte le carte a destra (es. Ci sono 15 punti sulle carte 8, 4, 2 e 1, quindi la carta successiva a sinistra è la 16). Ciò semplifica il calcolo del numero se tutti i bit sono attivati: raddoppia la carta di sinistra e sottrai 1.

   g. Quanti numeri diversi posso fare con due bit? (4; spesso gli studenti diranno 3 perché non hanno contato 0)

   h. Aggiungiamo il bit successivo; quanti numeri diversi possiamo fare adesso? (8, ancora 7 sarà spesso dato prima come risposta)

   io. Ripeti finché non viene riconosciuto uno schema che ogni volta che aggiungiamo un altro bit ora possiamo rappresentare il doppio dei numeri.

Riflessione della lezione

• Questa attività funzionerebbe se usassimo carte bianche e crema? Perché? Perchè no? (In linea di principio potresti usarli, ma non sarebbe una buona idea. Stiamo cercando la risposta che non sono colori contrastanti, quindi sarebbe difficile vedere se è effettivamente acceso o spento. Questo suggerisce perché i computer utilizzare rappresentazioni fisiche facilmente distinguibili.)

• Quali sono alcuni simboli o modi contrastanti che possiamo mostrare e disattivare in formato binario?

  • (Le idee potrebbero includere tenere le carte in alto o in basso; semplicemente alzare una mano; sedersi o alzarsi; o usare una rappresentazione diversa come luci accese o spente).

• I computer sono più economici e più facili da costruire se rappresentano dati con solo due valori contrastanti, che rappresentiamo come i numeri 0 e 1. Cos'altro potremmo usare per rappresentare due opposti per iscritto? (Forse una croce o un segno di spunta; faccia felice o triste; o qualsiasi altra coppia di simboli.)

• Estendendo questa idea, i numeri potrebbero essere rappresentati da una tensione che è vicina a 5 volt o vicina a 0 volt. Il circuito è costruito in modo che qualsiasi cosa inferiore a circa 2,5 volt conta come 0 e qualsiasi cosa superiore a 2,5 volt conta come 1. Come i colori contrastanti delle carte, questo è molto facile da riconoscere. Avremmo potuto avere 10 colori di carte per rappresentare le cifre da 0 a 10 e avremmo potuto avere dieci intervalli di tensione (da 0 a 0,5, da 0,5 a 1,0 e così via), ma è molto più complicato costruire circuiti veloci e precisi per questo .

Vedere le connessioni del pensiero computazionale

Durante le lezioni ci sono collegamenti al pensiero computazionale. Di seguito abbiamo notato alcuni collegamenti generali che si applicano a questo contenuto.

Insegnare il pensiero computazionale attraverso le attività di CSUnplugged aiuta gli studenti a imparare come descrivere un problema, identificare quali sono i dettagli importanti di cui hanno bisogno per risolvere questo problema e scomporlo in piccoli passaggi logici in modo che possano quindi creare un processo che risolva il problema e quindi valuta questo processo. Queste competenze sono trasferibili a qualsiasi altra area curricolare, ma sono particolarmente rilevanti per lo sviluppo di sistemi digitali e la risoluzione di problemi utilizzando le capacità dei computer.

Questi concetti di pensiero computazionale sono tutti collegati tra loro e si supportano a vicenda, ma è importante notare che non tutti gli aspetti del pensiero computazionale si verificano in ogni unità o lezione. Abbiamo evidenziato le connessioni importanti per te per osservare i tuoi studenti in azione. Per ulteriori informazioni di base su ciò che è la nostra definizione di pensiero computazionale, vedere le nostre note sul pensiero computazionale .

Pensiero algoritmico

In questa lezione abbiamo utilizzato un algoritmo per convertire un numero decimale in uno binario. Questo è un algoritmo perché è un processo graduale che fornirà sempre la soluzione giusta per qualsiasi input gli si dia, purché il processo venga seguito esattamente.

Ecco un algoritmo per capire quali dot card dovrebbero essere visualizzate, scritte nel testo:

• Scopri il numero di punti da visualizzare. (Ci riferiremo a questo come al "numero di punti rimanenti", che inizialmente è il numero totale da visualizzare.)
• Per ogni carta, da sinistra a destra (cioè 16, 8, 4, 2 e poi 1):
  • Se il numero di punti sulla scheda è superiore al numero di punti rimanenti:
    • Nascondi la carta
  • Altrimenti:
    • Mostra la carta
    • Sottrai il numero di punti sulla carta dal numero di punti rimanenti

Nota che questo algoritmo (che funziona da destra a sinistra) funziona molto bene con le carte, ma se cerchi programmi per computer per farlo, potresti trovarne uno diverso che funziona da destra a sinistra. È normale avere più algoritmi che ottengono lo stesso risultato.

Esempi di cosa potresti cercare:

Quali studenti sono metodici quando convertono tra decimale e binario? Quali iniziano con la carta più a sinistra e spostano una carta alla volta a destra, invece di scegliere carte a caso e girarle finché non ottengono il numero giusto?

Astrazione

La rappresentazione dei numeri binari (usando solo 0 e 1) è un'astrazione che nasconde la complessità dell'elettronica e dell'hardware all'interno di un computer che memorizza i dati. L'astrazione ci aiuta a semplificare le cose perché possiamo ignorare i dettagli che attualmente non abbiamo bisogno di sapere.

In questo caso i dettagli che possiamo ignorare includono: I computer utilizzano dispositivi fisici come circuiti elettronici e tensioni nei circuiti per memorizzare e spostare dati, e ci sono molte teorie fisiche e matematiche complesse che fanno funzionare questo.

Non abbiamo bisogno di capire come funzionano questi circuiti per usare i dati e rappresentare cose usando il binario. L'uso del binario è un'astrazione di questi circuiti e ci consente di rappresentare i numeri come composti da bit (0 e 1), per comprendere i dati e risolvere i problemi senza dover pensare a ciò che sta accadendo "sotto il cofano" del computer.

Un altro uso dell'astrazione è considerare ciò che è necessario per rappresentare una data cifra in binario. La risposta è tutto ciò di cui hai bisogno sono due cose diverse. Queste cose possono essere qualsiasi cosa! Due colori diversi, due animali diversi, due simboli diversi ecc. Finché ce ne sono due e sono diversi, puoi usarli per rappresentare qualsiasi numero, usando il binario, allo stesso modo in cui un computer usa l'elettricità per rappresentare i dati.

Possiamo usare cifre binarie per rappresentare qualsiasi tipo di dati memorizzati su un computer. Quando rappresentiamo altre forme di dati (come lettere, immagini e suoni) usiamo anche l'astrazione perché nascondiamo i dettagli di tutti i numeri binari sottostanti e guardiamo solo l'intero pezzo di dati. Tutte le forme di dati finiscono per essere rappresentate come numeri (che a loro volta sono in realtà solo combinazioni di bit): per il testo abbiamo un numero per ogni lettera, per le immagini usiamo un numero per ogni colore e così via. Stiamo usando più livelli di astrazione! Ad esempio, una forma familiare di astrazione è che il mese "ottobre" potrebbe essere rappresentato dal numero dieci, che a sua volta è rappresentato dai bit 01010, e se questi sono memorizzati come tensioni nella memoria del computer, in definitiva è "basso, alto, basso, alto, basso "per le tensioni.

Esempi di cosa potresti cercare:

Chi sono gli studenti che dimostrano di convertire e rappresentare numeri binari utilizzando cose diverse da "1 e 0", "bianco e nero" e "spento e acceso" (ad esempio utilizzando :) e :( o utilizzando persone in piedi o sedute giù). Se sei in grado di scambiare termini come "nero" e "bianco" con 0 e 1 senza che gli studenti si preoccupino della differenza, stanno esercitando l'astrazione.

Decomposizione

Un esempio di decomposizione è rompere la conversione del numero in binario in un bit alla volta. Le domande "Dovrebbe essere 1 o 0" per ciascuna delle dot card scompongono il problema in una serie di domande.

Esempi di cosa potresti cercare:

Quali studenti riconoscono che è importante iniziare con la carta più a sinistra e considerare solo un bit alla volta? Quali studenti si concentrano su ogni singolo bit alla volta, piuttosto che essere sopraffatti dal cercare di risolverli tutti in una volta?

Generalizzazione e modelli

Riconoscere gli schemi nel modo in cui funziona il sistema di numeri binari ci aiuta a darci una comprensione più profonda dei concetti coinvolti e ci aiuta a generalizzare questi concetti e schemi in modo da poterli applicare ad altri problemi.

A un livello semplice, abbiamo iniziato con i numeri 1, 2 e 4 e gli studenti lo hanno generalizzato al raddoppio dei valori. L'esercizio utilizzava numeri a 5 bit, ma gli studenti dovrebbero essere in grado di generalizzarli a numeri a 8 bit o più grandi.

L'algoritmo per convertire un numero decimale in uno binario segue uno schema che può essere generalizzato per risolvere il problema di dare resto quando qualcuno paga in contanti. Per i numeri binari inizi con il bit più grande, attiva sempre un po 'se ne hai bisogno, proprio come quando stai dando il resto inizi con il taglio più grande e poi prendi sempre una moneta (o una nota) ogni volta che ne hai bisogno. Nota in gergo: questo è chiamato algoritmo avido: ogni volta ci vuole il più possibile!

Collegamenti matematici

Quando si conta verso l'alto in binario, c'è un modello per quanto spesso le carte particolari vengono girate. Il 1 ° bit (con 1 punto) gira ogni volta, il 2 ° (con 2 punti) gira per ogni secondo numero, il 3 ° (con 4 punti) gira per ogni 4 ... C'è uno schema come questo quando contiamo numeri decimali?

Se hai 5 carte e tutte sono visibili, avrai il numero 31, che è 1 in meno del valore della carta successiva, 32. Questo schema è sempre vero?

La quantità di numeri che puoi rappresentare con un certo numero di bit è uguale al valore del bit successivo che può essere aggiunto. Ad esempio, utilizzando 4 carte (1, 2, 4, 8) puoi rappresentare 16 numeri diversi (0-15) e la carta successiva nella sequenza è il numero 16. Ogni volta che aggiungiamo la carta successiva raddoppiamo anche quantità di numeri diversi che possiamo rappresentare.

Lavorare con questi modelli è prezioso per elaborare la relazione tra il numero di bit utilizzati e la potenza di ciò che possono rappresentare.

Spiega uno o più dei seguenti schemi:

• Che con un certo numero di carte puoi fare la stessa quantità di numeri diversi come il numero di punti che sarebbero sulla carta successiva da aggiungere a sinistra (ricorda che 0 è un numero).
• Quando conti verso l'alto: la prima carta (1 punto) gira ogni volta, la seconda carta (2 punti) ogni due volte, la terza (4 punti), ogni quattro volte e la quarta (8 punti), ogni otto volte...
• Quando tutte le carte che hai sono visibili, si sommerà al numero di carta binario successivo meno 1.

Esempi di cosa potresti cercare:

Quali studenti hanno riconosciuto rapidamente che ogni carta raddoppiava il numero di punti? Gli studenti possono vedere le somiglianze tra questo e la moltiplicazione dei valori di posizione per 10 quando usano il sistema decimale?

Quali studenti capiscono facilmente gli schemi delle carte che girano quando si contano con numeri binari?

Logica

Pensare logico significa usare regole che già conosci e usare la logica per dedurre più regole e informazioni da queste. Una volta che sappiamo quale numero rappresenta ciascuna delle carte binarie, possiamo usare questa conoscenza per capire come rappresentare altri numeri con le carte. Se memorizzi come rappresentare i numeri che possiamo fare con 5 carte, significa che hai capito come rappresentare qualsiasi numero con un numero qualsiasi di bit? Non è così, ma puoi capire come farlo se capisci la logica dietro come sono fatti questi numeri con le 5 carte.

Un buon esempio di pensiero logico nei numeri binari è il motivo per cui ogni bit "deve" avere un valore particolare (ad esempio, deve essere 1, o deve essere 0) per rappresentare un dato numero. Questo a sua volta porta a capire che esiste una sola rappresentazione per ogni numero.

Esempi di cosa potresti cercare:

Gli studenti spiegano esplicitamente che il bit più a destra deve essere uno perché è l'unico numero dispari e quindi è necessario in modo da poter creare tutti i numeri dispari? Senza di essa potremmo fare solo numeri pari.

Gli studenti sono in grado di spiegare che ogni carta "deve" essere in alto come è per un dato numero es. La carta da 16 punti è necessaria per il numero 19 perché senza di essa rimangono solo 15 punti alla sua destra (non abbastanza) ; ma la carta 16 non serve per il numero 9 perché darebbe troppi punti?

Valutazione

Un esempio di valutazione è capire quanti valori diversi possono essere rappresentati da un dato numero di bit (es. 5 bit possono rappresentare 32 valori diversi) e viceversa (per rappresentare 1000 valori diversi, sono necessari almeno 10 bit).

Esempi di cosa potresti cercare:

Uno studente può calcolare l'intervallo possibile con 4 bit? (16)

6 bit? (64)

8 bit? (256)

Se aggiungiamo un bit in più a una rappresentazione, quanto aumenta l'intervallo? (lo raddoppia)

Se aggiungiamo altri due bit a una rappresentazione, quanto aumenta l'intervallo? (è quattro volte tanto)

Di quanti bit abbiamo bisogno per rappresentare 1000 valori diversi? (10 è sufficiente)